Question

函数B₁的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²-2x（x∈R）是单函数；
②函数f（x）=是单函数；
③若y=f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）．

Answer

根据已知中“单函数”的定义，可得函数f（x）为单函数时，对任意x1≠x2，均有f（x1）≠f（x2）成立，由此举出反例可判断①②，根据定义可判断③④，进而得到答案．
【解析】
①中函数f（x）=x2-2x（x∈R），当x=0或x=2时，f（x）=0，故∃x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；
②中函数f（x）=，当x=0或x=4时，f（x）=2，故∃x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；
③由“单函数”的定义可得f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，故其逆否命题：x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）成立，故③为真命题
④中函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x1≠x2，使x1≠x2，从而不满足“单函数”的定义；
综上真命题只有③
故答案为：③