Question

已知函数（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x=-5时，f（x）取得极值．
①若m≥-5，求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
②求证：对任意x₁，x₂∈[-2，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2．

Answer

（Ⅰ）求导数f′（x），当a=1时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）①当x=-5时f（x）取得极值可得f′（-5）=0，由此求得a值，从而利用导数可求得f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]内、外讨论f（x）的单调性，由单调性即可求得f（x）的最小值；②对任意x1，x2∈[-2，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤fmax（x）-fmin（x），利用导数易求得函数在[-2，1]内的最大值、最小值；
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=+（2x+1）=，
当a=1时，f′（x）=x（x+3）ex，
解f′（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f′（x）＜0得-3＜x＜0，
所以f（x）的单调增区间为（-∞，-3）和（0，+∞），单调减区间为（-3，0）．
（Ⅱ）①当x=-5时，f（x）取得极值，所以f′（-5）=，
解得a=2（经检验a=2符合题意），
f′（x）=，当x＜-5或x＞0时f′（x）＞0，当-5＜x＜0时f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-5）和（0，+∞）上递增，在（-5，0）上递减，
当-5≤m≤-1时，f（x）在[m，m+1]上单调递减，fmin（x）=f（m+1）=m（m+3），
当-1＜m＜0时，m＜0＜m+1，f（x）在[m，0]上单调递减，在[0，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（0）=-2，
当m≥0时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（m）=（m+2）（m-1），
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值为
；
②令f′（x）=0得x=0或x=-5（舍），
因为f（-2）=0，f（0）=-2，f（1）=0，所以fmax（x）=0，fmin（x）=-2，
所以对任意x1，x2∈[-2，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤fmax（x）-fmin（x）=2．