Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（-，0），（，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若AB中点横坐标为-，求直线AB的方程；
（3）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（-，0），（，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆，从而可得曲线C的方程；
（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可得到直线的方程；
（3）直线方程代入椭圆方程，求出A，B的纵坐标，利用S△AOB=，可得面积，利用换元法，结合函数的单调性，即可得到结论．
【解析】
（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（-，0），（，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆．
故曲线C的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点横坐标为y，则，
两方程相减可得
∵直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点，AB中点横坐标为-，
∴
∴
∴
∴直线AB的斜率为k=
∴直线AB的方程为y=（x+1）；
（3）存在△AOB面积的最大值．
因为直线l过点E（-1，0），可设直线l的方程为x=my-1．
代入椭圆方程整理得（m2+4）y2-2my-3=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），解得y1=，．
则|y2-y1|=．
∴S△AOB==
设t=（t），则g（t）=
∵y=在区间[，+∞）上为增函数．
∴．
∴，当且仅当m=0时取等号，
∴S△AOB的最大值为．