Question

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，=λ（λ＞0）
（1）若λ=1，求直线l斜率
（2）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁且||，||，2||成等差数列求λ的值
（3）设已知抛物线为C1：y²=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C₁^′．圆C2：x²+（y-4）=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C₁^′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C^′₁于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．

Answer

（1）先确定p=λ（x2-），进而求出B的坐标，即可求直线l的斜率；
（2）直线方程代入抛物线方程，求得A1、B1的横坐标，根据||，||，2||成等差数列，可得2||=||+2||，从而可得x2-2x1=，由此可求λ的值；
（3）设过点P的圆C2的切线方程，可得PS，PT的斜率是方程的两根，利用韦达定理及向量的数量积，即可得到结论．
【解析】
依题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y，
则F（，0）准线方程为x=-
直线l的方程为y=k（x-），M（-，y），y2＞0
∵=λ，∴（p，-y）=λ（x2-，y），故p=λ（x2-）
（1）若λ=1，由p=λ（x2-），y22=2px2，y2＞0，得x2=，y2=p，
∴B（，p）
∴直线l的斜率k==；
（2）直线l的方程代入y2=2px，消去y，可得k2x2-（k2p+2p）x+=0，则x1x2=
∵，∴=
∵||，||，2||成等差数列
∴2||=||+2||，
∴
∴x2-2x1=
将和代入上式得，∴λ=2；
（3）设P（x，x2），S（x1，x12），T（x2，x22），由题意得x≠0，x≠±1，x1≠x2．
设过点P的圆C2的切线方程为y-x2=k（x-x），即y=kx-kx+x2．①
则=1，
即（x2-1）k2+2x（4-x2）k+（x2-4）2-1=0．
设PS，PT的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，所以
k1+k2=，k1k2=．
将①代入y=x2，得x2-kx+kx-x2=0，
由于x是此方程的根，故x1=k1-x，x2=k2-x，
所以=x1+x2=k1+k2-2x=-2x，kNP=．
由MP⊥AB，得kNP•kST=[-2x]•=-1，解得x2=，
即点P的坐标为（，），所以直线l的方程为．