Question

已知矩阵，向量=．
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算M⁵⁰．

Answer

（1）先根据特征值的定义列出特征多项式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量β，后将求A50β的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．
【解析】
（1）矩阵M的特征多项式为，…（3分）
所以λ1=0，λ2=4，设对应的特征向量为α1=，α2=．
由Mα1=λ1α1，Mα2=λ2α2，可得2x1+y1=0，2x2-y2=0，
所以矩阵M的一个特征向量为α1=，α2=．…（7分）
（2）令β=mα1+nα2，则，解得，，…（9分）
所以M50β=M50
=
=
=．      …（14分）