Question

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D₁-AC-B为直二面角．
（1）求直线AD₁与直线DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD₁-C的平面角正弦值大小．

Answer

（1）以点B为坐标原点，平面ABC为xOy平面，BC，BA方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与直线DC所成角的余弦值；
（2）分别求出平面D1BC的法向量、平面D1BA的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角A-DD1-C的平面角正弦值大小．
【解析】
（1）以点B为坐标原点，平面ABC为xOy平面，BC，BA方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）．
在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，则H即为D1在平面ABC上的射影．
∵AB=4，AD=3，∴AC=5，，，…（6分）
∴，，
所以．      …（10分）
（2）设平面D1BC的法向量为，，
∵，，∴∴．
设平面D1BA的法向量为，
∵，，
∴，∴．…（14分）
∴，
∴．…（16分）