Question

（1）已知圆S：x²+y²=a²（a＞0），直线l₁：y=k₁x+p交圆S于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若k₁•k₂=-1，证明：E是CD的中点；
（2）已知椭圆，直线l₁：y=k₁x+p交椭圆T于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若．问E是否是CD的中点，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer

（1）联立直线l1，l2的方程，联立直线l1与圆的方程，确定CD中点坐标，利用韦达定理，即可得到结论；
（2）联立直线l1，l2的方程，联立直线l1与圆的方程，确定CD中点坐标，利用韦达定理，即可得到结论．
证明：（1）若k1•k2=-1，则，与l1：y=k1x+p联立解得．
将l1：y=k1x+p与S：x2+y2=a2（a＞0）联立消去y，整理得，
设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为M（x，y），
则，
所以E与M重合，故E是CD的中点．            …（8分）
（2）证明：若，则，与l1：y=k1x+p联立，解得．
将l1：y=k1x+p与联立消去y，整理得
设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为M（x，y），
则，
所以E与M重合，故E是CD的中点．            …（16分）