Question

将正整数2，3，4，5，6，7，…，n，…作如下分类：（2），（3，4），（5，6，7），（8，9，10，11），…，分别计算各组包含的正整数的和，记为S₁，S₂，S₃，S₄，…，记T_n=S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1．
（1）分别求T₁，T₂，T₃的值；
（2）请猜测T_n的结果，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）第n组有n个从小到大连续的正整数，可求得第1个数是+2，利用等差数列的求和公式得Sn=+2（n∈N*），从而可求得S1=2，S3=18，S5=70，继而可得T1，T2，T3的值；
（2）猜想：Tn=n2（n2+1），（n∈N*），利用数学归纳法证明即可，特别注意，假设当n=k（k∈N*）时，猜测成立，即Tk=k2（k2+1）去推证n=k+1时等式也成立，要用好归纳假设．
【解析】
（1）第n组有n个从小到大连续的正整数，且第1个数是[1+2+3+…+（n-1）]+2=+2，
故Sn=n[+2]+=+2（n∈N*）．
S1=2，S3=18，S5=70，T1=S1=2，
T2=S1+S3=2+18=20，
T3=S1+S3+S5=2+18+70=90．…（6分）
（2）由（1）知T1=2=1×2=12×（12+1），
T2=20=4×5=22×（22+1），
T3=90=9×10=32×（32+1）
猜想：Tn=n2（n2+1），（n∈N*）．      …（10分）
证明：（ⅰ）当n=1时，已知成立．
（ⅱ）假设n=k（k∈N*）时，猜测成立，即Tk=k2（k2+1）．则n=k+1时，
Tk+1=Tk+S2k+1=k2（k2+1）+，
因为（k+1）2[（k+1）2+1]-k2（k2+1）-
=[（k+1）4-k4]+[（k+1）2-k2]-
=[（k+1）2+k2][（k+1）2-k2]+（2k+1）-（2k+1）（2k2+2k+2）
=（2k+1）（2k2+2k+2）-（2k+1）（2k2+2k+2）
=0，
所以k2（k2+1）+=（k+1）2[（k+1）2+1]，即n=k+1时，猜测成立．
根据（ⅰ）（ⅱ），Tn=n2（n2+1）（n∈N*）成立． …（16分）