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高中数学试题
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已知向量=(cosx,sinx),=(cosx,-sinx),且x∈[0,].求...
已知向量
=(cos
x,sin
x),
=(cos
x,-sin
x),且x∈[0,
].求:
(Ⅰ)
及
;
(Ⅱ)若f(x)=
-2λ
的最小值是-
,求λ的值.
(I)利用向量的数量积公式,结合差角的三角函数,角的范围,即可得出结论; (II)f(x)=cos2x-4λcosx=2cos2x-1-4λcosx,设t=cosx,可得y=f(x)=2t2-4λt-1=2(t-λ)2-1-2λ2,分类讨论,利用最小值是-,即可求λ的值. 【解析】 (Ⅰ)=cos2x--------------------(3分) = ∵x∈[0,],∴cosx>0,∴=2cosx.-------------------------------------(6分) (Ⅱ)f(x)=cos2x-4λcosx=2cos2x-1-4λcosx,设t=cosx, 则∵,∴t∈[0,1] 即y=f(x)=2t2-4λt-1=2(t-λ)2-1-2λ2.----------------------------------------(7分) ①λ<0时,当且仅当t=0时,y取最小值-1,这与已知矛盾--------------------(8分) ②当0≤λ≤1时,当且仅当t=λ时,y取得最小值-1-2λ2, 由已知得,解得λ=---------------------------------------------(10分) ③当λ>1时,当且仅当t=1时,y取得最小值1-4λ. 由已知得,解得λ=,这与λ>1相矛盾. 综上λ=为所求.-----------------------------------------------------------------(12分)
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考点分析:
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