Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0
B．a≤-4
C．a≤-4或a≥0
D．-4≤a≤0

Answer

由函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，或f′（x）≤0在（0，1）上恒成立，分别求其最值可得．
【解析】
求导数可得f′（x）=2x+2+（x＞0）．
∵函数f（x）在（0，1）上单调，
∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，或f′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
由2x+2+≥0，x∈（0，1），可得a≥（-2x2-2x）max，x∈（0，1）．
令g（x）=-2x2-2x=，则g（x）在（0，1）单调递减．
∴g（x）＜g（0）=0．∴a≥0．
由2x+2+≤0，x∈（0，1），可得a≥（-2x2-2x）min，x∈（0，1）．
令g（x）=-2x2-2x=，则g（x）在（0，1）单调递减．
∴g（x）＞g（1）=-4．∴a≤-4．
综上可得实数a的取值范围是：a≤-4或a≥0
故选C．