构造函数g(x)=f(x)-2x,利用导数研究其单调性,再利用奇函数的性质即可得出.
【解析】
令g(x)=f(x)-2x,则g′(x)=f′(x)-2,
∵当x>0时,f′(x)>2.
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∵g(1)=f(1)-2=0,
∴当x∈(0,+∞)时,g(x)>0的解集为(1,+∞),即不等式f(x)>2x的解集为(1,+∞).
∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴g(x)也是定义在R上的奇函数.
∴当x∈(-∞,0)时,g(x)>0的解集为(-1,0),即不等式f(x)>2x的解集为(-1,0).
综上可知:不等式f(x)>2x的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
故选D.