(I)先求导数f'(x),欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(II)先将过点N(1,n)可作曲线y=f(x)的三条切线转化为:方程2x3-3x2+10+3n=0(*)有三个不同实数根,记g(x)=2x3-3x2+10+3n,下面利用导数研究函数g(x)的零点,从而求得n的范围.
【解析】
(I)f'(x)=x2-4,f'(1)=-3,(2分)
∴曲线y=f(x)在M(1,-3)处的切线方程为y+3=-3(x-1),即3x+y=0(4分)
(II)过点N(1,n)向曲线y=f(x)作切线,设切点为(x,y)
则y=x3-4x+,k=f'(x)=x2-4.
则切线方程为y-(x3-4x+)=(x2-4)(x-x)(6分)
将N(1,n)代入上式,整理得2x3-3x2+10+3n=0.
∵过点N(1,n)可作曲线y=f(x)的三条切线
∴方程2x3-3x2+10+3n=0(*)有三个不同实数根、(8分)
记g(x)=2x3-3x2+10+3n,g'(x)=6x2-6x=6x(x-1),
令g'(x)=0,x=0或1、(10分)
则x,g'(x),g(x)的变化情况如下表
x (-∞,0) (0,1) 1 (1,+∞)
g'(x) + - +
g(x) 递增 极大 递减 极小 递增
当x=0,g(x)有极大值10+3n;x=1,g(x)有极小值9+3n,(12分)
由题意有,当且仅当 ,即 ,-<n<-3时,
函数g(x)有三个不同零点、
此时过点N可作曲线y=f(x)的三条不同切线.故m的范围是(14分)