(I)根据函数解析式,求出导函数,分a≤0和a>0两种情况,分别分析导函数的符号,进而可得不同情况下f (x)的单调区间;
(Ⅱ) 根据(I)中的结论,分a≤0,0<a<3和a≥3三种情况分析不等式-1≤f (x)≤1对x∈[0,]是否恒成立,综合讨论结果,可得答案.
【解析】
(I)∵f (x)=x3-3ax+1,
∴f′(x)=3x2-3a,
当a≤0时,f′(x)≥0恒成立,f (x)的单调增区间为R;
当a>0时,由f′(x)>0得x<或x>
故f (x)的单调增区间为(-∞,)和(,+∞),f (x)的单调减区间为(,)
(II)当a≤0时,由(I)可知f (x)在[0,]递增,且f(0)=1,此时无解;
当0<a<3时,由(I)可知f (x)在∈[0,)上递减,在(,]递增,
∴f (x)在[0,]的最小值为f()=1-2a
∴,即
解得:a=1
当a≥3时,由(I)可知f (x)在[0,]上递减,且f(0)=1,
∴
解得:a≤
此时无解
综上a=1