Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，M是直线l：x=3上的动点，过点F（1，0）作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P（m，n）．则m，n满足的关系式为    ．

Answer

设点M（3，k），则由PF⊥OM可得 =-1，化简可得 nk=3-3m ①．再由题意可得△OPM为直角三角形，故由勾股定理可得OP2+PM2=OM2，化简可得 2m2+2n2-6m-2nk=0 ②．再把①代入②化简可得结果．
【解析】
设点M（3，k），则由PF⊥OM可得 =-1，
化简可得 nk=3-3m ①．
再由直径对的圆周角为直角，可得OP⊥PM，△OPM为直角三角形，故由勾股定理可得
OP2+PM2=OM2，即 m2+n2+（m-3）2+（n-k）2=32+k2．
化简可得 2m2+2n2-6m-2nk=0 ②．
再把①代入②化简可得 m2+n2=3，
故答案为 m2+n2=3．