Question

设函数f（x）=x²+bx+c（x∈R）且f′（x）+f（x）＞0恒成立，则对∀a∈（0，+∞），下面不等式恒成立的是（ ）
A．f（-a）＜e^af（0）
B．f（-a）＞e^af（0）
C．f（a）＜e^af（0）
D．f（a）＞e^af（0）

Answer

构造函数F（x）=ex×f（x），根据题设条件，可得此函数是一个增函数，从而得F（-a）＜F（0），于是可得答案．
【解析】
令F（x）=ex×f（x），
∵f'（x）+f（x）＞0
∴F′（x）=（ex）′×f（x）+ex×f′（x）
=ex×f（x）+ex×f′（x）
=ex（f'（x）+f（x））＞0，
∴F（x）=ex×f（x）为增函数，又a＞0，
∴F（a）＞F（0），即eaf（a）＞ef（0）=f（0），
又-a＜0，
∴F（-a）＜F（0），即e-af（-a）＜ef（0）=f（0），
即f（-a）＜eaf（0）
故选A．