Question

过抛物线y²=4x的焦点作一条倾斜角为 α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆有公共点，则 α的取值范围是    ．

Answer

设出弦所在的直线方程，代入抛物线y2=4x化简，利用一元二次方程根与系数的关系求得 x1+x2=2+．根据弦的长度不超过8，结合抛物线的定义可得|AB|=2+x1+x2≤8，由此求得k的范围．再由圆心（0，0）到弦所在的直线 kx-y-k=0的距离小于或等半径，求得k的范围．最后把这2个k的范围取交集，可得k的准确范围．由于k的范围就是tanα的范围，再由0≤α＜π求得α的范围．
【解析】
抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），当α=90°时，|AB|=2p=4＜8，故不满足条件，
故α≠90°．
设弦所在的直线方程为 y=k（x-1），即 kx-y-k=0，代入抛物线y2=4x可得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=2+．
由于弦长度不超过8，且由抛物线的定义可得|AB|=2+x1+x2，∴2+≤6，k2≥1，
故有 k≤-1，或 k≥1 ①．
再由弦所在的直线与圆有公共点，可得圆心（0，0）到弦所在的直线 kx-y-k=0的距离小于或等半径，
即 ≤．
解得-≤k≤，且 k≠0 ②．
由①②可得 1≤k≤，或-≤k≤-1，即 1≤tanα≤ 或-≤tanα≤-1．
再由 0≤α＜π可得，α的范围是[]∪[，]，
故答案为[]∪[，]．