Question

已知三个正整数2a，1，a²+3按某种顺序排列成等差数列．
（1）求a的值；
（2）若等差数列{a_n}的首项、公差都为a，等比数列{b_n}的首项、公比也都为a，前n项和分别为S_n，T_n，且＞S_n-130，求满足条件的正整数n的最大值．

Answer

（1）利用2a，a2+3是正整数，可得a是正整数，利用基本不等式可得a2+3＞2a＞1，因此可得2a是a2+3与1的等差中项，即可得出；．
（2）利用a=2和等差数列、等比数列的前n项和公式即可得出．
【解析】
（1）∵2a，a2+3是正整数，∴a是正整数，
∵a2+3＞2a＞1，
∴2×2a=a2+3+1，解得a=2．
（2）∵a=2，∴=n2+n；
Tn==2n+1-2，
∵＞Sn-130，∴＞n2+n-130，
化为n2+n-132＜0，∴-12＜n＜11，
∵n是正整数，∴n的最大值是10．