Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求a的值．

Answer

联立直线和双曲线的方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的积，由以AB为直径的圆经过坐标原点得到x1x2+y1y2=0，代入后即可求得a的值，最后验证是否符合判别式大于0．
【解析】
联立，消去y得，（3-a2）x2-2ax-2=0．
由△=（-2a）2+8（3-a2）=24-4a2＞0，得．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则．
所以y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2x1x2+a（x1+x2）+1
=．
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以x1x2+y1y2=0．
即，解得a=±1．
满足．
所以a的值是±1．