Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x²+y²的取值范围是    ．

Answer

由函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2-6x+21）+f（y2-8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x-3）2+（y-4）2＜4，借助于的有关知识可求．
【解析】
∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2-6x+21）+f（y2-8y）＜0恒成立
∴f（x2-6x+21）＜-f（y2-8y）=f（8y-y2）恒成立，
∴x2-6x+21＜8y-y2，
∴（x-3）2+（y-4）2＜4恒成立，
设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
则d=表示区域内的点和原点的距离．
由下图可知：d的最小值是OA=，
OB=OC+CB，5+2=7，
当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．
故答案为：（13，49）．