Question

已知函数，，设F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为    ．

Answer

利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，且f（0）=1＞0，f（-1）=＜0，g′（x）＜0，因此g（x）是R上的减函数，且g（1）=＞0，g（2）=1-2+2-+…-＜0，函数f（x）在（-1，0）上有一个零点；函数g（x）在（1，2）上有一个零点，，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x-3）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果．
【解析】
f′（x）=1-x+x2-x3+…+x2010=，
∴f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，
且f（0）=1＞0，f（-1）=＜0，
∴函数f（x）在（-1，0）上有一个零点；
g′（x）=-1+x-x2+x3-…-x2010=，
∴g′（x）＜0，因此g（x）是R上的减函数，且g（1）=＞0，
g（2）=1-2+2-+…-＜0，
∴函数g（x）在（1，2）上有一个零点，
∵F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，
∴f（x+3）的零点在（-4，-3）内，g（x-3）的零点在（4，5）内，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零点均在区间[-4，5]内，
∴b-a的最小值为9．
故答案为：9．