Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-2ⁿ}为等差数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1-n），若…对一切n∈N^*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）先对关系式an+1=an+2n+1整理可得到）（an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1，即数列{an-2n}为等差数列，
（2）根据（1）可求出数列{an-2n}的通项公式，即可得到数列{an}的通项公式，根据bn=log2（an+1-n），可得到bn的表达式，设f（n）=…（1+）×，分析可得f（n）的最小值，结合题意即可得答案．
【解析】
（1）（an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1
故数列{an-2n}为等差数列，且公差d=1．
an-2n=（a1-2）+（n-1）d=n-1，an=2n+n-1；
（2）由（1）可知an=2n+n-1，∴bn=log2（an+1-n）=n
设f（n）=…（1+）×，（n≥2）
则f（n+1）=…（1+）×（1+）×，
两式相除可得=（1+）×=＞1，
则有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）=，
要使…对一切n∈N*且n≥2恒成立，
必有k＜；
故k的取值范围是k＜．