Question

设函数f（x）=x（x-1）²，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=lnx-2x²+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值；
（3）讨论方程的解的个数，并说明理由．

Answer

（1）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．
（2）令h1（x）=x+m-g（x）=2x2-3x-1nx+m-t≥0在（0，+∝）上恒成立，利用导数求得x=1，函数h1（x）取得最小值．从而m≥t+1；同样地，h2（x）=f（x）-x-m=x3-2x2-m≥0在（0，+∞）上恒成立，求得t+1≤m≤．由m的唯一性，知t=，m=
（3）记p（x）==，利用导数工具工具．求得有关的函数值，结合零点存在性定理求解．
【解析】
（1）f′（x）=（3x-1）（x-1），令f′（x）=0得x1=，x2=1，
f（x）在区间（），（1，+∞）分别单调增，单调减，单调增，
所以当x=时，有极大值f（）=，x=1时，有极小值f（1）=0；
（2）由已知得h1（x）=x+m-g（x）=2x2-3x-1nx+m-t≥0在（0，+∝）上恒成立，由h1′（x）=
得x∈（0，1）时，h1（x）＜0时，x∈（1，∞）时，h1（x）＞0，故x=1，函数h1（x）取得最小值．从而m≥t+1；
同样地，h2（x）=f（x）-x-m=x3-2x2-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
求得t+1≤m≤
由m的唯一性，知t=，m=
（3）记p（x）==
①当a=0时，p（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；
②当a＜0时，p（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．
p（）=-1＜0，p（1）＞0，所以此时方程有唯一解．
③当a＞0时，p′（x）=x-=，
当时，p′（x）＜0，p（x）在上为减函数，
当时，p′（x）＞0，p（x）在上为增函数，
所以当x=时，p（x）min=p（）=
（a）当a∈[0，e）时，p（）＞0，所以此时方程无解．
（b）当a=e时，p（）=0，所以此时方程有唯一解．
（c）当a∈（e，+∞）时，p（）＜0，
因为p（1）=＞0，且1＜，所以方程在上有唯一解．
因为当x＞1时，（x-lnx）′＞0，所以，x-lnx＞1，x＞lnx，
所以p（x）=
因为2a＞＞1，所以p（2a），所以方程在上有唯一解．所以此时方程有两解．
综上所述，a∈[0，e）时，方程无解．
当a＜0或a=e时，方程有唯一解．
当a∈（e，+∞）时，方程有两解．