Question

已知数列{a_n}的通项a_n=2n-14．
（1）当n为何值时，前n项的和S_n有最小值，并求出这个最小值．
（2）数列{|a_n|}前n项和为T_n，求T_n．

Answer

（1）易判断该数列为等差数列，由an=2n-14可判断各项的符号情况，根据各项正负可得Sn有最小值时的n值，利用等差数列求和公式可得最小值；
（2）分n≤6，n≥7两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，然后根据等差数列的求和公式可求得Tn．
【解析】
（1）∵an+1-an=[2（n+1）-14]-（2n-14）=2，为常数，
∴{an}为公差为2的等差数列，
由an=2n-14≥0，得n≥7，
∴当n≤6时，an＜0，a7=0，
∴前6项或前7项的和最小，Sn的最小值为S6=S7=-42；
（2）①当n≤6时，an＜0，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=-a1-a2-…-an
=-（a1+a2+…+an）
=-=-n2+13n；
②当n≥7时，an≥0，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=-a1-a2-…-a6+a7+a8+…+an
=-2（a1+a2+…+a6）+a1+a2+…+a6++a7+a8+…+an
=-2×+
=84+n2-13n=n2-13n+84，
∴．