Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n+3•2^n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）令c_n=log₂＜1（n≥2）．

Answer

（1）累加法：注意验证n=1的情形；
（2）表示出bn，然后利用分组求和得，Sn=3[（1•2+2•21+3•22+…+n•2n-1）-（1+2+3+…+n）]，令x=1•2+2•21+3•22+…+n•2n-1，运用错位相减法可得x，代入Sn即可；
（3）由可得cn，利用裂项相消法可化简，由其结果可得证；
【解析】
（1）∵a1=2，，
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=2+3×2+3×21+3×22+…+3×2n-2
=2+3（2+21+22+…+2n-2）
=2+3×=3×2n-1-1（n≥2），
经验证n=1也成立，∴；
（2），
，，，…，，
∴Sn=3[（1•2+2•21+3•22+…+n•2n-1）-（1+2+3+…+n）]，
设x=1•2+2•21+3•22+…+n•2n-1①，则2x=1•21+2•22+3•23+…+n•2n②，
①-②得，-x=1+21+22+23+…+2n-1-n•2n
=1+-n•2n=-1+（1-n）•2n，
∴x=（n-1）2n+1，
∴Sn=3[（n-1）2n+1-]，
∴Sn=；
（3）∵；
∴cn=log22n-1=n-1，
=
=1-+…=1-＜1．