Question

设F₁，F₂是椭圆E：（）的左右焦点，过F₁的直线l与E相交于A、B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列
（1）求|AB|；
（2）若直线l的斜率为1，求椭圆E的方程．

Answer

（1）由等差数列的定义得到2|AB|=|AF2|+|BF2|，由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a，两式联立可求
|AB|；
（2）写出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求出|AB|，和（1）中求出的|AB|联立求解a的值，则椭圆E的方程可求．
【解析】
（1）由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，
得2|AB|=|AF2|+|BF2|，由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a．
所以3|AB|=4a，|AB|=；
（2）由题意设直线l的方程为y=x+c．
联立，得（2a2+1）x2+4a2cx+2a2c2-a2=0
则．
所以|AB|=
=
==．
解得：a2=2．
代入△满足△＞0成立．
所以椭圆方程为．