Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁与A₁C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer

（1）由平行四边形AA1C1C中AC=A1C1，结合题意证出△AA1C1为等边三角形，同理得△ABC1是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC1，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA1C1C．
（2）取AB中点E，连结CE、C1E．由（1）的证明可得△ABC1与△ABC是边长为2的等边三角形，从而得到CE⊥AB且C1E⊥AB，即∠C1EC是二面角C1-AB-C的平面角，在△C1EC中利用余弦定理即可算出二面角C1-AB-C的余弦值．
【解析】
（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，
∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，
∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，
同理△ABC1是等边三角形，
∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，
平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，
∴BD⊥平面AA1C1C．
（2）取AB中点E，连结CE、C1E
由（1）的证明，可得△ABC1与△ABC是边长为2的等边三角形，
∵CE、C1E分别是△ABC与△ABC1的中线，
∴CE⊥AB且C1E⊥AB，可得∠C1EC是二面角C1-AB-C的平面角
△C1EC中，CE=C1E=AB=，
∴根据余弦定理，得cos∠C1EC===．
即二面角C1-AB-C的余弦值等于．