Question

某校有教职员工150人．为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室．假设每位教职员工都会参加其中的一项活动，且第一天去健身房锻炼的人数为m．据调查统计，每次去健身房的人有20%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有30%下次去健身房．记第n天去健身房的人数为a_n．
（1）若m=80，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若10天之内去健身房锻炼的超过850人次，求m的取值范围．

Answer

（1）记第n天去娱乐室的人数为bn，则an+bn=150，由已知易得an=45+an-1，进而可得{an-90}是-10为首项以为公比的等比数列，求出an-90的通项公式后，可得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可得an=90+，利用折项法可得S10=900+（）（m-90），并结合10天之内去健身房锻炼的超过850人次，构造不等式，解不等式可得m的取值范围．
【解析】
（1）记第n天去娱乐室的人数为bn，则an+bn=150
当m=80时，则a1=80，b1=70，
则当n≥2时，an=（1-20%）an-1+30%bn-1=（1-20%）an-1+30%（150-an-1）=45+an-1，
则an-90=（an-1-90）
即=
由a1-90=-10
故数列{an-90}是-10为首项以为公比的等比数列
则an-90=-10•
∴an=90-
（2）∵第一天去健身房锻炼的人数为a1=m
由（1）得an=90+
则10天之内去健身房锻炼的S10=900+[（m-90）+++…+]=900+（）（m-90）≥850
则m≤90+≈115
故m的取值范围为[0，115]