Question

设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．过B₁作直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若PB₂⊥QB₂，求直线l的方程；
（3）设直线l与圆O：x²+y²=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4，]，求△B₂PQ的面积S的取值范围．

Answer

（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．已知△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，可得c=2b，在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20．即可得到椭圆的方程．
（2）由（1）得B1（-2，0），可设直线l的方程为x=my-2，代入椭圆的方程，得到根与系数的关系，利用PB2⊥QB2，⇔，即可得到m．
（3）当斜率不存在时，直线l：x=-2，此时|MN|=4，，当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），利用点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离，可得t=，得k的取值范围；把直线l的方程代入椭圆的方程点到根与系数的关系，代入|B1B2|×|y1-y2|，再通过换元，利用二次函数的单调性即可得出S的取值范围．
【解析】
（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．
因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，得c=2b，
在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20．
因此所求椭圆的标准方程为：．
（2）由（1）得B1（-2，0），可设直线l的方程为x=my-2，代入椭圆的方程．化为（5+m2）y2-4my-16=0．
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则，，
又，B2P⊥B2Q，
所以=（m2+1）y1y2-4m（y1+y2）+16===0，
∴m2=4，解得m=±2；
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x-2y+2=0．
（3）当斜率不存在时，直线l：x=-2，此时|MN|=4，，
当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），则圆心O到直线l的距离，
因此t=，得，
联立方程组：得（1+5k2）y2-4ky-16k2=0，
由韦达定理知，，
所以，
因此．
设，所以，所以，
综上所述：△B2PQ的面积．