Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求a_n；
（Ⅱ）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N^*
都有S_n∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）先由条件构造等式（a-1）Sn-1=a（an-1-1） 与已知条件作差求出数列{an}的递推公式，再对数列{an}的递推公式变形即可证数列{an}是等比数列，再代入等比数列的通项公式即可求出an；
（Ⅱ）先对a分情况讨论分别求出对应的集合A和Sn，再分别看是否满足对于任意的n∈N*都有Sn∈A．进而求出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，∵（a-1）S1=a（a1-1），∴a1=a（a＞0）（1分）
n≥2时，由（a-1）Sn=a（an-1）（a＞0）
得（a-1）Sn-1=a（an-1-1）
∴（a-1）an=a（an-an-1），变形得：=a（n≥2）（4分）
故{an}是以a1=a为首项，公比为a的等比数列，∴an=an（6分）
（Ⅱ）（1）当a=1时，A={1}，Sn=n，只有n=1时Sn∈A，
∴a=1不适合题意（7分）
（2）a＞1时，A={x|1≤x≤a}，S2=a+a2＞a，∴S2∉A，
即当a＞1时，不存在满足条件的实数a（9分）
（3）当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}
而Sn=a+a2+…an=
因此对任意的n∈N*，要使Sn∈A，
只需0＜a＜1，解得0＜a≤（11分）
综上得实数a的范围是（0，]．（12分）