Question

已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．

Answer

（1）利用两角和公式和诱导公式整理题设等式求得sin（A+B）=sin2C，进而整理求得cosC的值，进而求得C．
（2）利用sinA，sinC，sinB成等差数列求得三者的关系式，利用正弦定理转化成边的关系式，利用求得ab的值，进而分别代入余弦定理求得c．
【解析】
（1）由cos（-A）•cosB+sinB•sin（+A）=sin（π-2C）得sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C
∴sin（A+B）=sin2C，
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）sinC
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∵0＜C＜π∴sinC＞0∴cosC=∴C=
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b
∵，即abcosC=18，ab=36
由余弦弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
∴c2=4c2-3×36，c2=36，
∴c=6