Question

函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函数g（x）单调减区间为（，1），求函数g（x）解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；
（3）若∃x∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．

Answer

（1）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（，1），即是方程g'（x）=0的两个根．然后解a即可．
（2）利用导数的几何意义求切线方程．（3）将不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可．
【解析】
（1）∵g'（x）=3x2+2ax-1，若函数g（x）单调减区间为（，1），由g'（x）=3x2+2ax-1＜0，解为，
∴是方程g'（x）=0的两个根，
∴，
∴g（x）=x3-x2-x+2…（4分）
（2）设切点为（x，y），则切线方程为，将（1，1）代入
得．
所以切线方程为y=-x+2或y=1…（9分）
（3）要使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，即2xlnx≥3x2+2ax-1+2成立．
所以2ax≤2xlnx-3x2-1，在x＞0时有解，所以最大值，
令，则，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单增，
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单减．
∴x=1时，h（x）max=-4，
∴2a≤-4，
即a≤-2…（14分）