Question

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）在区间（-1，1）上不单调，则a的取值范围是（ ）
A．（-5，-1）∪（-1，1）
B．
C．
D．（-3，-1）∪（-1，5）

Answer

求出原函数的导函数，由导函数解析式可知，当a=时函数在区间（-1，1）上严格单增，当a时导函数有两个零点，分别由两个零点位于区间（-1，1）上求a的取值范围．
【解析】
由f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b，得
f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]
因为函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）在区间（-1，1）上不单调，
所以f（x）至少有一个极值点在区间（-1，1）内，
a≠-时，f（x）有两个不相同的极值点x1=a和x2=-．
①a=-时，f（x）严格单调增加．
②若-1＜x1＜1，得-1＜a＜1．
③若-1＜x2＜1，即-1＜-＜1，可得-5＜a＜1．
综合①、②、③，可得a的取值范围是．
故选B．