Question

如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
（1）在面PCD上找一点M，使BM⊥面PCD；
（2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的余弦值．

Answer

（1）设M为PC的中点，PD中点为N，由条件可得ABMN为平行四边形，BM∥AN．再根据AN⊥面PCD，可得BM⊥面PCD．
（2）延长CB交DA于E，证明PE⊥面PCD，可得∠CPD为二面角C-PE-D的平面角．求得得tan∠CPD=，可得cos∠CPD的值．
【解析】
（1）M为PC的中点，设PD中点为N，则MN=CD，且MN∥CD，∴MN=AB，MN∥AB．
再由 PA=AB=AD=CD，可得ABMN为平行四边形，∴BM∥AN．
可得∠PAD=90°，∴AN⊥PD，又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，∴BM⊥面PCD．…（6分）
（2）延长CB交DA于E，∵AB=CD，且AB∥CD，∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE．
又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角．
再由PD=AD，CD=2AD，可得tan∠CPD=，
∴cos∠CPD=．…（12分）