Question

在递减的等差数列{a_n}中，a₂+a₄+a₆=12，a₃•a₅=7，前n项和为S_n
（1）求a_n；
（2）求S_n及其最值，并指明n的取值；
（3）令T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求T_n．

Answer

（1）由等差数列的性质可得a4=4，可得a3•a5=（4-d）（4+d）=7，解之可得d值，可得通项；（2）可得Sn=，由二次函数的知识可知当n=5时，Sn取最大值，代入求和公式可得；（3）可得当n≤5时，an＞0，当n≥6时，an＜0，当n≤5时，Tn=Sn=，当n≥6时，Tn=2S5-Sn，求解可得．
【解析】
（1）∵{an}为等差数列，∴a2+a6=2a4，
代入已知可得3a4=12，解得a4=4，
设数列的公差为d，
则可得a3•a5=（4-d）（4+d）=7，
解之可得d=-3，或d=3（舍去，数列递减）
故an=a4+（n-4）d=16-3n
（2）由（1）可知an=16-3n，a1=13，
故Sn==，
对应二次函数的对称轴为n=，
故当n=5时，Sn取最大值，
S5=35；
（3）由an=16-3n≤0可得n≥，
故当n≤5时，an＞0，当n≥6时，an＜0，
故当n≤5时，Tn=Sn=，
当n≥6时，Tn=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an
=2S5-Sn=70+