Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+∅），（A＞0，ω＞0，0＜∅＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期为2π，其图象经过点M．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）已知a∈，且f=-，求tan（2π-a）的值．

Answer

（1）依题意，可求得A，ω，把点M（，1）代入f（x）=2sin（x+∅）（0＜∅＜π）可求得∅，从而可得f（x）的解析式；
（2）利用2kπ+≤x+≤2kπ+即可求得函数f（x）的单调减区间；
（3）利用诱导公式与同角三角函数间的基本关系可求得sinα=，cosα=-，从而可求得tan（2π-α）．
【解析】
（1）由题意得：A=2，ω==1，
所以f（x）=2sin（x+∅），
把点M（，1）代入得：2sin（+∅）=1，
即cos∅=，又0＜∅＜π，
所以∅=，f（x）=2sin（x+）．
（2）令z=x+．函数y=sinz的单调递减区间是：[2kπ+，2kπ+]，
由2kπ+≤x+≤2kπ+，2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），
所以函数f（x）的单调减区间是[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）．
（3）f（α+）=2sin[（α+）+]=2sin（α+π）=-2sinα=-，
即sinα=；
又因为α∈（，π），所以cosα=-=-=-，
所以tan（2π-α）=-tanα=-=-=-．