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过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x=-2的...

过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x=-2的距离之和等于6,则这样的直线( )
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有无穷多条
D.不存在
利用分类讨论、抛物线的通径及其定义即可得出. 【解析】 由抛物线y2=4x得焦点F(1,0).当AB⊥x轴时,把x=1代入抛物线方程可得y2=4,解得y=±2. ∴|AB|=4,∴点A(1,2),B(1,-2)到直线x=-1的距离之和=4,因此点A(1,2),B(1,-2)到直线x=-2的距离之和=6. 当AB与x轴不垂直时,|AB|>4,因此点A(1,2),B(1,-2)到直线x=-2的距离之和>6. 故满足条件的直线AB有且只有一条,及AB⊥x轴. 故选A.
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