(1)根据平行线的性质证明四边形EFGH是矩形.
(2)根据边长关系,建立函数关系,然后求四边形EFGH的面积.
【解析】
(1)证明:∵CD∥面EFGH,CD⊂平面BCD,
而平面EFGH∩平面BCD=EF.∴CD∥EF同理HG∥CD.∴EF∥HG
同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形…(3分)
由CD∥EF,HE∥AB∴∠HEF(或其补角)为CD和AB所成的角,
又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.…..(6分)
(2)【解析】
由(1)可知在△ABD中EH∥AB,∴,所以EH=λb,
在△BCD中EF∥CD,∴,所以EF=a(1-λ) …(8分)
又EFGH是矩形,故四边形EFGH的面积S=a(1-λ)•λb,当且仅当λ=1-λ,
即时等号成立,即E为BD的中点时,矩形EFGH的面积最大为ab….(12分)