Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上，
（1）求{a_n}通项公式．
（2）设数列{b_n}满足，求证：{b_n-1}为等比数列，并求{b_n}的通项．
（3）在（2）条件下，，求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer

（1）由点（an，Sn）在曲线（x+1）2=4y上，得（an+1）2=Sn×4，n≥2时，（an-1+1）2=Sn-1，两式相减结合an＞0可得an-an-1=2，由此能求出通项公式．
（2）由bn+1=abn=2bn-1可得bn+1-1=2（bn-1），b1=3，由此能够证明{bn-1}为等比数列，并能求出{bn}的通项公式．
（3）由，知=2+，由此利用分组求和法能求出数列{cn}前n项和．
（1）【解析】
∵点（an，Sn）在曲线（x+1）2=4y上．
∴（an+1）2=Sn×4．
当n≥2时，（an-1+1）2=Sn-1，
两式相减可得Sn-Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2=an×4，
即（an-1）2=（an-1+1）2，
∴（an-an-1-2）（an+an-1）=0．
∵an＞0，∴an-an-1=2，∵（a1+1）2=4S1，∴a1=1．
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
（2）证明：∵bn+1=abn=2bn-1
∴bn+1-1=2（bn-1），即=2，
∵b1=3，∴b1-1=2，
∴{bn-1}为首项是2，公比是2的等比数列，
∴∴bn-1=2•2n-1=2n，
∴bn=2n+1．
（3）【解析】
∵，
∴
=
=2+，
∴数列{cn}前n项和：
Tn=2n+（+++…+）
=2n+
=2n+-．