Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2BC=2，且AC⊥CB，O为线段AC的中点．
（Ⅰ）在BC₁上确定一点E，使得OE∥平面A₁ABB₁，并说明理由；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面A₁BC所成角的正切值．

Answer

（1）取E是BC1中点，AB中点D，BB1中点F，证明ODFE是平行四边形，得OE∥DF，问题解决．
（2）作C1H垂直 A1C于H连接HB，证明∠C1BH为直线BC1与平面A1BC所成角，在直角三角形C1BH中计算．
【解析】
（1）如图，设E是BC1中点，

取AB中点D，BB1中点F，连接
OD，DF，EF，，在△ABC中OD是中位线，OD∥BC，OD=BC，，同理EF∥BC，EF=BC
∴ODFE是平行四边形，∴OE∥DF
∵OE⊄面A1ABB1，DF⊂面A1ABB1∴OE∥平面A1ABB1．
（2）如图，作C1H垂直 A1C于H连接HB，

∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC=AC，AC⊥CB
∴BC⊥面AA1C1C，∵BC⊂面A1BC，∴面A1BC⊥面AA1C1C，且面A1BC∩面AA1C1C=A1C
∴C1H⊥面A1BC，∴∠C1BH为直线BC1与平面A1BC所成角．
∵△A1C1C是边长为2 的正三角形∴，H为A1C的中点  C1H=
在直角三角形BCA1中，
BH==．
tan∠C1BH===