Question

已知f（x）=，g（x）=-+2ex-tlnx-，t为实常数，
（1）比较与ln大小．
（2）求f（x）在区间[1，a]（a＞1的常数）上最大值．
（3）当x∈[1，2]时，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]对于λ∈[1，+∞）恒成立，求t取值范围．

Answer

（1）先利用导数求得f（x）的单调区间，根据单调性可得f（e）＞f（2），由此可得到结论；
（2）由（1）可知f（x）的单调区间，按照1＜a≤e，a＞e两种情况进行讨论，由单调性可得其最大值；
（3）g（x）≤t[λ-xf（x）]即-+2ex-≤tλ，令h（x）=-+2ex-（1≤x≤2），利用导数可求得h（x）在[1，2]上的最大值，然后分离出参数t后再求最值即可；
【解析】
（1）∵f（x）=，∴x＞0，f′（x）=，
由f′（x）==0，得x=e．
当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0．
∴f（x）=在（0，e）内是增函数，在（e，+∞）内是减函数．
∵e＞2，∴f（e）＞f（2），即，
∴＞ln．
（2）由（1）知f（x）=在（0，e）内是增函数，在（e，+∞）内是减函数，
∴当1＜a≤e时，f（x）在区间[1，a]上递增，最大值为f（a）=；
当a＞e时，f（x）在区间[1，e]上递增，在[e，a]上递减，最大值为f（e）=．
∴f（x）在区间[1，a]（a＞1的常数）上最大值为f（x）max=．
（3）g（x）≤t[λ-xf（x）]即-+2ex-tlnx-≤t（λ-lnx），亦即-+2ex-≤tλ，
令h（x）=-+2ex-（1≤x≤2），则h′（x）=-x+2e+=，
令φ（x）=-x3+2ex2+1，则φ′（x）=-3x2+4ex=-3x（x-），
当x∈[1，2]时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
则φ（x）≥φ（1）=2e＞0，
所以h′（x）＞0，h（x）在[1，2]上单调递增，
所以h（x）max=h（2）=4e-，
所以要使x∈[1，2]时，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]成立，有4e-≤tλ，
该不等式可变为t，要使g（x）≤t[λ-xf（x）]对于λ∈[1，+∞）恒成立，
因为在[1，+∞）上递减，所以只需t≥4e-，
故实数t的取值范围为t≥4e-．