Question

已知双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支一的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．（1，2]
C．
D．（1，3]

Answer

由定义知：|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，==，当且仅当，即|PF2|=2a时取得等号．再利用三线段长的关系，可求得双曲线的离心率的取值范围．
【解析】
∵双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点
∴|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，
∴==，
当且仅当，即|PF2|=2a时取得等号
∴|PF1|=2a+|PF2|=4a
∵|PF1|-|PF2|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，
∴e∈（1，3]
故选D．