Question

已知函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（I）证明函数f（x）是奇函数；
（II）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明；
（III）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由．

Answer

（I）根据函数单调性的定义，直接加以验证即可得到函数f（x）是奇函数；
（II）设x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，可得当a＞1时f（x1）＜f（x2），由定义可得函数f（x）是增函数，当0＜a＜1时f（x1）＞f（x2），可得函数f（x）是减函数；
（III）分a＞1时、0＜a＜1两种情况加以讨论，根据（II）中函数的单调性建立关于a的方程，解之可得存在
a=满足f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=．
【解析】
（I）∵f（x）=ax-a-x，
∴f（-x）=a-x-ax=-（ax-a-x）=-f（x）
因此，函数f（x）是奇函数；
（II）设x1＜x2，可得
f（x1）-f（x2）=-（）=+
=（）（1+）
∵1+＞0，当a＞1时，而0＜a＜1时
∴当a＞1时f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
当0＜a＜1时f（x1）-f（x2）＞0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数
（III）根据（II）的单调性，得
①当a＞1时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=
即a2-a-2=，解之得a2=2（舍负），所以a=（舍负）
②当0＜a＜1时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（1）=
即a1-a-1=，解之得a=2不满足0＜a＜1，舍去
综上所述，可得存在a=满足f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=．