Question

已知函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的解析式；
（III）设函数g（x）=f（x）+（a-3）x+a，如果函数y=g（x）在区间（-1，1）上有零点，求实数a的取值范围．

Answer

（I）在f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）中，由f（1）=0，令x=1，y=0可得f（1）-f（0）=1×（1+0+1），由此解得f（0）的值．
（II）令y=-x，求得 f（-x）的解析式，即可求得 f（x） 的解析式．
（III）由题意可得，g（-1）g（1）=（-2+3）[0+（a-3+a）]＜0，解得 a＜，即为所求实数a的取值范围．
【解析】
（I）∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，令x=1，y=0可得f（1）-f（0）=1×（1+0+1），
即 0-f（0）=2，解得f（0）=-2．
（II）令y=-x，可得 f（0）-f（-x）=x（1-x），即 f（-x）=x2-x-2，∴f（x）=x2+x-2．
（III）由于函数g（x）=f（x）+（a-3）x+a 在区间（-1，1）上有零点，则有g（-1）g（1）=（-2+3）[0+（a-3+a）]＜0，
解得 a＜，即实数a的取值范围为（-∞，）．