(Ⅰ)由题意可得 cosC=cos2A,利用二倍角公式求出cosC=,再由同角三角函数的基本关系求出sinC 和 sinA 的值,由cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,
运算求得结果.
(Ⅱ)由 求得 ac=24,再由 ,C=2A,可得 c=2acosA=a,姐方程求得a、c的值,再利用余弦定理求出b 的值,即为所求.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得 cosC=cos2A=2cos2A-1=,…1分
故 sinC=.…2分
由 cosA=得 sinA=.…3分
∴cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=.…4分
(Ⅱ)∵,
∴ac•cosB=,ac=24.…6分
∵,C=2A,
∴c=2acosA=a,
解得 a=4,c=6,…8分
再由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB=25,故b=5.
即边AC的长为 5. …10分