Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=9n-n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N⁺，均有T_n＞，求m的取值范围．

Answer

（1）当n=1时，可求得a1=S1=8；当n≥2时，可求得an=Sn-Sn-1=-2n+10，检验后知n=1时适合，从而可得数列{an}的通项公式；
（2）由an=10-2n，利用裂项法可求得bn=（-），从而Tn=（1-），Tn＞恒成立⇔（Tn）min＞，当n=1时，（Tn）min=，从而通过解不等式＞即可求得m的取值范围．
【解析】
（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=9n-n2-（-n2+11n-10）=-2n+10…（5分）
又a1=S1=8，适合上式 …（6分）
所以an=10-2n（n∈N*）…（7分）
（2）因为bn==（-）…（10分）
所以Tn=（1-+-+…+-）=（1-）…（12分）
又因为对任意的n∈N*，Tn＞恒成立，
所以（Tn）min＞…（13分）
因为当n=1时，（Tn）min=，所以＞…（14分）
解之得1＜m＜2 …（16分）