Question

某厂生产A产品的年固定成本为250万元，若A产品的年产量为x万件，则需另投入成本C（x）（万元）．已知A产品年产量不超过80万件时，C（x）=x²+10x；A产品年产量大于80万件时，C（x）=51x+-1450．因设备限制，A产品年产量不超过200万件．现已知A产品的售价为50元/件，且年内生产的A产品能全部销售完．设该厂生产A产品的年利润为L（万元）．
（1）写出L关于x的函数解析式L（x）；
（2）当年产量为多少时，该厂生产A产品所获的利润最大？

Answer

（1）利润L（x）等于销售收入减去固定成本再减去投入成本C（x），根据产量的范围列出分段函数解析式；
（2）当0＜x≤80时，利用配方法求二次函数的最值，当80＜x≤200时，利用基本不等式求最值．
【解析】
（1）由题意知
L（x）=50x-C（x）-250=
；
（2）①当0＜x≤80时，，所以
当x=60时，L（x）max=L（60）=950；
②当80＜x≤200时，
．
当且仅当，即x=180时，“=”成立．
因为180∈（80，200]，所以L（x）max=920＜950．
答：当年产量为60万件时，该厂所获利润最大．