Question

已知f（x）=若x＞0，且点A（x，f（x））关于坐标原点的对称点也在f（x）的图象上，则称x为f（x）的一个“靓点”．
（1）当a=b=c=0时，求f（x）的“靓点”；
（2）当a=0且b=1时，若f（x）在（0，1）上有且只有一个“靓点”，求c的取值范围；
（3）当c=a+1且b=0时，若f（x）恒有“靓点”，求a的取值范围．

Answer

先根据题中新定义的“靓点”可知，当x＜0时，f（x）=ax2-x-5，其关于坐标原点对称图象的解析式为g（x）=-ax2-x+5，所以函数f（x）的“靓点”就是g（x）=-ax2-x+5（x＞0）与t（x）=b•2x-cx+3（x＞0）这两个函数图象交点的横坐标．
（1）当a=b=c=0时，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=3（x＞0）通过解方程组，即可得出函数f（x）的“靓点”；
（2）当a=0且b=1时，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=2x-cx+3（x＞0），此时函数f（x）的“靓点”即为方程-x+5=2x-cx+3的正根，通过研究此方程有正根即可求出c的取值范围；
（3）当c=a+1且b=0时，g（x）=-ax2-x+5（x＞0），t（x）=-（a+1）x+3（x＞0），要想f（x）恒有“靓点”，则方程-ax2-x+5=-（a+1）x+3，即方程ax2-ax-2=0恒有正根．记h（x）=ax2-ax-2，通过对字母a的讨论研究其图象与性质即可求出a的取值范围．
【解析】
因为当x＜0时，f（x）=ax2-x-5，其关于坐标原点对称图象的解析式为g（x）=-ax2-x+5，所以函数f（x）的“靓点”就是g（x）=-ax2-x+5（x＞0）与t（x）=b•2x-cx+3（x＞0）这两个函数图象交点的横坐标．
（1）当a=b=c=0时，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=3（x＞0）…（2分）
由，解得x=2，所以函数f（x）的“靓点”为x=2 …（5分）
（2）当a=0且b=1时，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=2x-cx+3（x＞0），
此时函数f（x）的“靓点”即为方程-x+5=2x-cx+3的正根 …（7分）
方程变形为2x=（c-1）x+2，设y1=2x，y2=（c-1）x+2
因为当x=0时，y1＜y2，结合图象知，要想f（x）在（0，1）上有且只有一个“靓点”，
则当x=1时，必须有y1＞y2，即2＞（c-1）+2，解得c＜1…（10分）
（3）当c=a+1且b=0时，g（x）=-ax2-x+5（x＞0），t（x）=-（a+1）x+3（x＞0），
要想f（x）恒有“靓点”，则方程-ax2-x+5=-（a+1）x+3，
即方程ax2-ax-2=0恒有正根 …（12分）
记h（x）=ax2-ax-2，
①当a=0时，方程无解，不适合题意…（13分）
②当a＞0时，因为h（0）=-2＜0，且h（x）的图象是开口向上的抛物线，所以方程h（x）=0一定有正根，所以a＞0适合题意…（14分）
③当a＜0时，由，解得a≥0或a≤-8，所以a≤-8…（15分）
综上所述，a的取值范围是a＞0或a≤-8 …（16分）
（说明：其它解法，仿此给分）