Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，顶点B₁在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求证：侧面ABB₁A₁⊥底面ABC；
（2）证明：B₁C⊥C₁A；
（3）求二面角B₁-BC-A的大小．

Answer

（1）通过直线与平面垂直的判定定理，利用平面与平面垂直的判定定理证明：侧面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）通过证明B1C⊥面ABC1，然后证明B1C⊥C1A；
（3）作DE⊥BC于E，连B1E，则由三垂线定理知：B1E⊥BC，说明∠B1ED为二面角B1-BC-A的平面角，通过解三角形求二面角B1-BC-A的大小．
【解析】
（1）依题意：
∵顶点B1在底面ABC上的射影D在AB上．
∴B1D⊥面ABC，且B1D⊂面ABB1A1
∴面ABB1A1⊥面ABC
（2）连BC1、CD
∵B1D⊥面ABC，∴∴，即D为AB中点
∴CD⊥AB
又AB⊥B1D，CD∩B1D=D
∴AB⊥面B1DC，又B1C⊂面B1DC
∴AB⊥B1C
∵四边形B1BCC1是菱形∴B1C⊥BC1
又AB∩BC1=B，∴B1C⊥面ABC1
∵C1A⊂面ABC1∴B1C⊥C1A
（3）作DE⊥BC于E，连B1E，则由三垂线定理知：B1E⊥BC
∴∠B1ED为二面角B1-BC-A的平面角

∴∠B1ED=arctan2，即二面角B1-BC-A为arctan2