Question

已知曲线C：y=-x²+x+2关于点M（a，2a）对称的曲线为Cn，且曲线C与Cn有两个不同的交点A、B，设直线AB的斜率为k，求k的取值范围．

Answer

设出曲线Cn上的任一点，利用对称性找出该点关于M的对称点，代入曲线C后整理即可得到曲线Cn的方程，
两曲线方程联立后由判别式大于0得到a的取值范围，由根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，把纵坐标用横坐标表示后作差，整理后得到两点连线的斜率（用a表示），根据a的范围可得直线AB的斜率范围．
【解析】
设（x，y）为曲线Cn上的任一点，
（x，y）关于点M（a，2a）的对称点为（x，y），则x=2a-x，y=4a-y
依题意，点（x，y）在曲线C上∴4a-y=-（2a-x）2+2a-x+2
化简整理，得曲线Cn的方程：y=x2-（4a-1）x+4a2+2a-2
由方程组
消去y，整理得：x2-2ax+2a2+a-2=0（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
∵
两式相减，得：

因曲线C与Cn交于不同两点，方程*应有两不等实根，∴△=4a2-4（2a2+a-2）＞0
即a2+a-2＜0
解之，得：-2＜a＜1，-1＜1-2a＜5
即AB的斜率k的取值范围是-1＜k＜5．