Question

已知数列{a_n}中，前n项和S_n满足：
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若，S_n′为数列{b_n}的前n项和，求证：S_n′＜2．

Answer

（1）由，得Sn-Sn-1=，可化为（n≥2），根据等差数列的定义可证明；
（2）由（1）可得，进而得到Sn，根据可求得an；
（3）表示出bn（n≥2），则S′n=b1+b2+b3+…+bn，对各项分母进行适当放缩，然后利用裂项相消法化简，可得结论；
【解析】
（1）∵，
∴Sn-Sn-1=，即，
所以Sn-1-Sn=2SnSn-1，
显然，Sn≠0，否则由知an=0与an≠0矛盾．
∴（n≥2），
又，
∴是首项为2，公差为2的等差数列；
（2）由（1）可知：，∴，
①当n≥2时，，
②当n=1时，，
∴；
（3）∵b1=1，且由（2）知当n≥2时，，
∴S′n=b1+b2+b3+…+bn
=1+
＜1+
=1+（1-）+（）+…+（）=2-＜2．